Volatilidad 2: Modelado de volatilidad futura

Esta es la segunda entrada de nuestra serie en desarrollo del modelado de volatilidad. En la primera entrega, introdujimos el concepto amplio de volatilidad en series de tiempo financieras, exploramos sus características generales y discutimos unos cuantos métodos no paramétricos para estimar la volatilidad usando un histórico de datos.

¿Por qué nos debe importar?

Los conceptos discutidos aquí son cruciales para una sólida comprensión de la volatilidad de series de tiempo financieras. Además, no son exclusivos de un sólo modelo sino genéricos y aplicables al dominio entero de volatilidad modelada.

En este ensayo empezamos definiendo los varios términos comprendidos en un tiempo de retorno de activos (e.g. período de retención) y explicamos en detalle el pronóstico de retorno de múltiples períodos y su volatilidad. Luego discutimos la escalada con volatilidad calculada con distintos períodos de retención y establecemos una unidad básica de escalada común. Finalmente, definimos distintos tipos de términos de volatilidad (e.g. volatilidad local, estructura de términos, volatilidad a largo plazo y volatilidad hacia adelante) con los que nos cruzaremos en nuestro futuro modelado de volatilidad.

 

Antecedentes

Consideremos la definición del registro de retorno de activos:

$$R_t=\frac{S_t}{S_{t-1}}-1$$ $$r_t=\ln{\frac{S_t}{S_{t-1}}}=\ln{S_t}-\ln{S_{t-1}}=(1-L)\ln S_t=\bigtriangledown \ln S_t$$

Donde

  • $S_t$ es el precio de cierre del activo al final del intervalo t
  • $S_{t-1}$ es el precio de cierre del activo al final del intervalo anterior (t-1)
  • $\bigtriangledown$ es el operador de la diferencia de primer orden

Tomar el registro de retornos es beneficioso en tres frentes principales: (1) el registro de operadores convierte la división de operación en una simple resta, y (2) la transformación de registro dispersa el rango sobre el dominio del número entero real $r_t \in (-\infty, \infty)$, donde $R_t \in [-1,\infty)$, y finalmente, (3) sumar retornos sobre períodos múltiples es una simple adición con registro de retornos versus una multiplicación en el caso de retorno regular.

$$ 1+R_{t\rightarrow t+k}=\frac{S_{t+k}}{S_t}=\frac{S_{t+1}}{S_t}\times\frac{S_{t+2}}{S_{t+1}}\times\cdots\times\frac{S_{t+k}}{S_{t+k-1}}=\prod_{i=1}^k \frac{S_{t+i}}{S_{t+i-1}} $$

versus

$$ r_{t \to t+k}=r_{t+1}+r_{t+2}+ \cdots + r_{t+k}=\sum_{i=1}^k r_{t+i} $$

En suma, los registros de retornos son más fáciles para trabajar y están mejor distribuidos que el rendimiento bruto.

Período de retención: Acabamos de definir la distribución de retorno sobre un período (paso de prueba). A este período se le llama con frecuencia período de retención y modelamos las dinámicas de los retornos particularmente con este período de retención. El modelo probabilístico para retornos con un determinado período de retención puede ser muy diferente a otro modelo que use un período de retención distinto al del mismo activo.

Además, podemos mostrar cómo calcular un pronóstico de retorno de períodos múltiples simplemente agregando los retornos con períodos simples:

$$ E[r_{t\to t+k}]=E[r_{t+1}+r_{t+2}+\cdots + r_{t+k}]=\sum_{i=1}^k E[r_{t+i}] $$

¿Qué tal una frecuencia más alta? ¿Podemos usar devoluciones mensuales para calcular semanalmente? La dinámica de retornos semanales es diferente a la dinámica mensual (el acumulado), entonces, desde un punto de vista práctico, nos iría mejor modelando datos semanales y no mensuales, en lo posible.

¿Qué tal una volatilidad de períodos múltiples?

$$ \textrm{Var}[r_{t\to t+k}]=\textrm{Var}[r_{t+1}+r_{t+2}+\cdots + r_{t+k}]=\sum_{i=1}^k \textrm{Var}[r_{t+i}]+2\times\sum_{i=1}^{k-1}\sum_{j=i+1}^k\textrm{Cov}[r_{t+i},r_{t+j}] $$

Donde

  • $\textrm{Cov}[r_{t+i},r_{t+j}]$ ies la covarianza entre $r_{t+i}$ and $r_{t+i}$

En las series de tiempo de retorno de activos no es raro encontrar que los retornos no estén serialmente correlacionados, aun si son dependientes (e.g. volatilidad por grupos). Esto subraya que su relación interna es de alto orden y no una correlación linear.

Asumiendo que tenemos un proceso estacionario en sentido débil (WSS, por sus siglas en inglés) y retornos que no han sido serialmente correlacionados, entonces la varianza de período múltiple (i.e. volatilidad al cuadrado) se expresa de la siguiente manera:

$$ \textrm{Var}[r_{t\to t+k}]=\sum_{i=1}^k \textrm{Var}[r_{t+i}] $$

 

Escala de volatilidad

Comparar el valor de la volatilidad de período simple versus la volatilidad de período múltiple necesitamos una escala unificada. En la práctica, por lo general la volatilidad anual va implícita cuando se discuten valores. La pregunta ahora es, ¿Cómo podemos convertir una volatilidad mensual, semanal o diaria a una anual?

Para la volatilidad mensual calculamos un período de 12 meses asumiendo que no habrá ninguna correlación serial entre retornos:

$$\sigma_Y^2=12\times\sigma_{mo}^2$$ $$\sigma_Y=\sqrt{12}\times\sigma_{mo}$$

Para la volatilidad semanal calculamos un período de 52 semanas asumiendo que no habrá ninguna correlación serial entre retornos semanales individuales:

$$\sigma_Y=\sqrt{52}\times\sigma_{w}$$

Para la volatilidad diaria el período de retención es un día hábil bursátil, así que primero calculamos el número de días hábiles bursátiles en el año actual (en US, $52\ por 5 - 5=250$ días hábiles bursátiles), y luego multiplicamos por la raíz cuadrada de este número:

$$\sigma_Y=\sqrt{250}\times\sigma_{d}$$

 

Local, estructura de términos, volatilidad hacia adelante y a largo plazo

En series de tiempo, generalmente mencionamos volatilidad condicional, volatilidad marginal o volatilidad incondicional y de largo plazo. Muchos de nosotros las confundimos con facilidad así que escribamos sus definiciones.

Volatilidad local

La volatilidad local es un acrónimo para volatilidad condicional de un paso pero se usa frecuentemente con el pronóstico de volatilidad.

$$\sigma_{t\to t+1}=f(t,r_t,r_{t-1},\cdots,r_1)$$

Por ejemplo, la desviación estándar de ventana móvil define la volatilidad del siguiente paso en términos del último retorno m.

$$\sigma_{t\to t+1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^m (r_{t-i}-\bar r)^2}{m-1}}$$

En el pronóstico de volatilidad de NumXL Consejos & trucos, construimos un modelo EGARCH para pronosticar la volatilidad local de S&P 500. Se muestra en la gráfica abajo:

Pronóstico de volatilidad local para S&P 500

Volatilidad de largo plazo

Una de las características de la volatilidad en series de tiempo financieras es la reversión hacia la propiedad media. La volatilidad podría alzarse por un período de tiempo y luego, seguramente, caería a su nivel histórico, o podría ser baja por un extenso período de tiempo para subirse a un nivel de largo plazo.

Como anotación

$$ \sigma_{LR}=\lim_{k\to \infty}\sigma_{t+k} $$

La volatilidad a largo plazo es lo que se percibe como el nivel histórico; lo cual no es lo mismo que la desviación estándar de muestra y varía en el modelo que captura sus dinámicas.

De nuevo, en materia de pronóstico de volatilidad, la volatilidad local converge con valores fijos como el número de pasos del pronóstico >>1 (~4.66%). Por favor, nótese que los valores se expresan en una unidad mensual y no anual. Calcular la volatilidad anual a largo plazo;

$$ \sigma_A=4.66\% \times \sqrt{12}=16.14\% $$

S&P 500 tiene una volatilidad histórica de alrededor de 16% por año.

Sin embargo, no hay métodos paramétricos (filtros suavizantes) para estimar la volatilidad a largo plazo, por ejemplo, un filtro Bartlett kernel con una ventana de tamaño k (refiéranse a la función de NumXL LRVar).

Estructura del término

La estructura del término es básicamente una función que define los valores de volatilidad para diferentes períodos de retención del futuro.

Usando ¨hoy¨ ($T$) como fecha de referencia, la estructura temporal de volatilidad se define así:

$$ \sigma_{t\to t+k}^2=f(t,k|F_{t})=\frac{\sigma_{t\to t+1}^2+\sigma_{t+1\to t+2}^2+\cdots+\sigma_{t+k-1\to t+k}^2}{k} $$

Nótese que hemos dividido la sumatoria de varianzas locales por el número de períodos para preservar el escalado de la volatilidad (i.e. varianza anual).

Usando el pronóstico EGARCH de volatilidad para S&P500 en un asunto anterior (Marzo 12, 2012 NumXL Consejos & Trucos– Pronóstio de Volatilidad), hemos graficado la volatilidad local junto con la estructura temporal.

Term Structure Volatility for S&P 500

De nuevo, los valores de volatilidad son para la volatilidad mensual (i.e. que no haya escalado a anual).

Volatilidad hacia adelante

En la definición de estructura temporal todos los valores de volatilidad son para un período de retención desde desde el día de referencia (hoy) y una fecha futura. ¿Qué tal si queremos estimar la volatilidad entre dos fechas futuras? Bueno, esto es precisamente de lo que se trata la volatilidad hacia adelante:

$$\sigma_{t\to t+k}^2=\frac{\sigma_{t\to t+1}^2+\sigma_{t+1\to t+2}^2+\cdots+\sigma_{t+k-1\to t+k}^2}{k}$$ $$ \sigma_{t\to t+k}^2=\frac{1}{k}((\sigma_{t\to t+1}^2+\sigma_{t+1\to t+2}^2+\cdots+\sigma_{t+m-1\to t+m}^2) + (\sigma_{t+m\to t+m+1}^2+\sigma_{t+m+1\to t+m+2}^2+\cdots+ \sigma_{t+k-1\to t+k}^2)) $$ $$ \sigma_{t\to t+k}^2=\frac{1}{k}(m\times\frac{\sigma_{t\to t+1}^2+\cdots+\sigma_{t+m-1\to t+m}^2}{m} + (k-m)\times\frac{\sigma_{t+m\to t+m+1}^2+\cdots+ \sigma_{t+k-1\to t+k}^2}{k-m}) $$ $$ \sigma_{t\to t+k}^2=\frac{m\times\sigma_{t\to t+m}^2+(k-m)\times\sigma_{t+m\to t+k}^2}{k} $$

Así

$$ \sigma_{t+m\to t+k}^2 = \frac{k\times\sigma_{t\to t+k}-m\times\sigma_{t\to t+m}^2}{k-m} $$

Nota: La volatilidad local (condicional) es básicamente una volatilidad hacia adelante de un solo paso.

 

Retornos correlacionados & Volatilidad que tiempo variante

Asumamos que tenemos una serie de tiempo con retornos correlacionados. ¿Cómo calculamos la volatilidad de múltiples períodos? ¿Cómo podemos proceder?

Pues descomponemos los retornos de activos en dos componentes:

$$r_t=\mu_t+a_t$$ $$r_t-\mu_t=a_t$$

Donde:

  • $\mu_t$ es la media condicional (no estocástica)
  • $a_t$ es el choque estocástico o período de error
  • $E[a_t]=0$
  • $\mathrm{Var}[a_t]=\mathrm{E}[a_t^2]=\sigma_t^2$

Así,

$$ \mathrm{Var}[r_t]=\mathrm{Var}[a_t]=\sigma_t^2$$

Además, los puntos de datos de las series de tiempo $\{a_t\}$ no son asumidos ni como independientemente distribuidos ni tampoco como idénticamente distribuidos. En vez, $\{a_t\}$ las observaciones solamente necesitan no correlacionarse serialmente.

En suma, todo lo que hemos hecho antes todavía se puede aplicar pero usando las series de tiempo de media corregida (i.e. residuos) $\{a_t\}$.

Hmm.. ¿No sabemos la media condicional? En ese caso, las cosas se pueden complicar un poco más y necesitamos usar dos modelos: modelo de media condicional y modelo de volatilidad condicional

Dejaremos este tema para resolver en el futuro.

 

Conclusión

En esta entrega no asumimos ningún modelo para las series de tiempo de retorno de acciones y procedimos a arar el terreno para el modelado de volatilidad.

Además, hemos demostrado que la ausencia de correlación serial en las series de retornos es suficiente para simplificar el cálculo de volatilidad de período múltiple. Lo anterior nos deja una pregunta: ¿Qué pasa si tenemos una correlación serial?

Finalmente, discutimos la posibilidad de un procesos con retornos de series correlacionadas y una volatilidad que varía con el tiempo (dependencia de segundo y primer orden). Dejaremos este tipo de modelado para el futuro.

 

Archivos adjuntos

La versión en PDF de esta entrada con la hoja de cálculo de excel pueden encontrarse a continuación:

 

 

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