ARCH Prueba Explicada

En las series de tiempo y el análisis econométrico, las estadísticas de resumen y el diagnóstico residual a menudo nos llevan a utilizar una prueba un tanto desconcertante conocida como la prueba de efecto de heterocedasticidad autorregresiva condicional automática (ARCH) o la prueba ARCH para abreviar. ¿Por qué exactamente utilizamos la prueba ARCH?

Estadísticas Descriptivas de Rendimientos Diarios de IBM

Usted podría pensar en una prueba ARCH simplemente como un medio para detectar la presencia de colas gordas en la distribución subyacente; Pero si eso fuera verdad, ¿Que nos diría la prueba que una prueba por exceso de curtosis no podría decirnos?

Necesitamos responder algunas preguntas básicas sobre la prueba ARCH: Qué hace? Cómo se relaciona con la prueba de ruido blanco? ¿Cuándo debemos utilizar lo que tiene que decirnos?

Nota: Por ejemplo, utilizamos el conjunto de datos de precios de las acciones de IBM para el período comprendido entre el 17 de mayo de 1961 y el 2 de noviembre de 1962 (Libro de pronóstico de series de tiempo Serie B en Box, Jenkins y Reinsell (1976)).

Antecedentes

Supongamos que tenemos un conjunto de datos univariado, y deseamos determinar si posee un efecto ARCH.

  1. Construir una nueva serie de tiempo, como:
  2. $$y_{t}=x_{t}^{2}$$
  3. Formar un tipo de prueba tipo portmanteau para:
  4. $$H_{0}:\rho _{1}=\rho_{2}=...=\rho_{m}=0$$ $$H_{1}:\exists\rho_{k}\neq 0$$

Donde

  • $H_{0}=$ hipótesis nula
  • $H_{1}=$ hipótesis alternativa
  • $m=$ número máximo de retrasos incluidos en la prueba
  • $\rho_{i}$ La función de autocorrelación de la población de la serie de tiempo cuadrado $(y_{t})$

$1\leq k\leq m$

En esencia, la prueba de efecto ARCH es una prueba de ruido blanco, pero para la serie de tiempo cuadrada. En otras palabras, estamos investigando un orden superior (no lineal) de autocorrelación. ¿Cómo puede ser útil esta información?

El efecto ARCH tiene sus raíces en el tiempo variando la volatilidad condicional, entonces:

$${\sigma _{t}^{2}}=E\left [ {(x_{t}-\bar{x}_{t})}^{2} \right ]=E\left [ x_{t}^2 \right ]-\bar{x}_{t}^{2}$$

Donde

  • $\sigma _{t}^2=$ varianza condicional
  • $\bar{x}_{t}=$ media condicional

Suponiendo que la serie temporal no tiene una media significativa (típica en series de tiempo financiero), entonces la varianza condicional se expresa como:

$$\sigma_t^2=E\left [ (x_t-\bar{x}_t)^{2} \right ]=E\left [ x_t^2 \right ]=E\left [ y_t \right ]\approx x_t^2$$

Asumiendo que la serie de tiempo cuadrada $(y_t)$ es seriamente correlacionada, Entonces la volatilidad condicional $(\sigma_t)$ varía con el tiempo y presenta un fenómeno de agrupamiento (por ejemplo, períodos de oscilaciones seguidos por períodos de relativa calma).

En resumen,la prueba ARCH nos ayuda a detectar un tiempo que varía el fenómeno de la volatilidad condicional, y por lo tanto sugiere diferentes tipos de modelos (por ejemplo ARCH / GARCH) para capturar estas dinámicas.

  • White-noise test $\rightarrow $ conditional mean $\rightarrow $ ARMA/ARIMA
  • ARCH test $\rightarrow $ conditional volatility $\rightarrow $ ARCH/GARCH

Q: ¿Podemos tener una correlación serial significativa en la serie de tiempo original y una correlación serial en la serie de tiempo cuadrada? Si es así, ¿cómo podemos modelar eso?A: Si; nosotros podemos usar una mezcla del modelo ARMA-GARCH.

Análisis

Echemos un vistazo a la serie logarítmica de retornos diarios:

IBM Price Returns Plot

La gráfica de regresión diaria sugiere un proceso estacionario con media cero, pero la volatilidad exhibe períodos de calma relativa seguida de oscilaciones (también conocido como agrupación de la volatilidad ).

La prueba de ruido blanco identifica una correlación serial insignificante en la serie temporal, pero el efecto ARCH es significativo e indica una volatilidad variable en el tiempo.

1. Distribución de retornos diarios

Vamos a construir la distribución empírica de las series de tiempo de la muestra, y examinar las colas en comparación con aquellos de una distribución gaussiana.

IBM Returns Histogram

Grafica Q-Q de retornos IBM

La gráfica Q-Q muestra una vista asimétrica de las colas de distribución; La cola izquierda de la distribución (es decir, los retornos negativos extremos) son mucho más desviadas de lo que sugiere la distribución gaussiana. Este es un fenómeno bien documentado en la serie de tiempo financiero.

Análisis del Correlograma

A estas alturas, hemos establecido que la distribución logarítmica de las devoluciones diarias tiene colas gordas (y puede ser más gruesa en el lado izquierdo que en el derecho), pero ¿de dónde proviene la reivindicación variable en el tiempo?

En la tabla de estadísticas descriptivas, el efecto ARCH sugiere una correlación serial significativa en la serie de tiempo cuadrado. Hagamos lo siguiente:

    1. Construye la serie de tiempo cuadrada $(y_t)$.

IBM Returns Squared Time Series Plot

    1. Ejecute el asistente de estadística descriptiva NumXL y genere la tabla de resumen. La prueba de ruido blanco en la serie de tiempo cuadrado es equivalente a la prueba de ARCH en la serie de tiempo original.

IBM Returns Squared Descriptive Statistics

Note: que el efecto ARCH para la serie de tiempo cuadrada es significante, Así que esto indica que tenemos una kurtosis variable en el tiempo (en el cuarto momento)? Vamos a tener esta pregunta en mente, y volver a ella en un tutorial por separado!

    1. Utilizando el asistente de Correlograma NumXL, genera la tabla ACF/PACF y traza la serie de tiempo cuadrada.

IBM Devuelve la tabla del análisis de correlograma

La gráfica ACF/PACF para la serie de tiempo cuadrado se muestra a continuación:

IBM Squared Time Series ACF and PACF Plots

3. Modelado ARCH

Usando las tablas/gráficas de ACF/PACF podemos proceder a modelar la volatilidad condicional como un modelo ARMA (conocido como GARCH). Como en ARMA, necesitamos identificar el orden de AR y MA del modelo de volatilidad condicional.

Conclusión

La prueba ARCH es una herramienta vital para examinar la dinámica temporal de los segundos momentos (es decir, la varianza condicional). La presencia de un exceso significativo de curtosis no es indicativa de una volatilidad variable en el tiempo, pero lo contrario es cierto: un efecto ARCH significante identifica una volatilidad condicional variable en el tiempo Agrupación de volatilidad (o reversión de media) y, como resultado, la presencia de una distribución de cola gorda (es decir, el exceso de curtosis > 0).

La prueba ARCH es una herramienta vital para examinar la dinámica temporal de los segundos momentos (es decir, la varianza condicional). La presencia de un exceso de curtosis significativo no es indicativa de una volatilidad variable en el tiempo, pero lo contrario es cierto: un efecto ARCH significativo identifica una volatilidad condicional variable en el tiempo, agrupación de volatilidad (o reversión de media) y, como resultado, la Presencia de una distribución de cola gorda (es decir, exceso de curtosis > 0)

Finalmente, observe que para las series de tiempo financieras, las ganancias negativas se desvían más de la normalidad que las positivas.

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