Modelos de regresión lineal múltiple

Dado un conjunto de datos $\{y_i,\, x_{i1}, \ldots, x_{ip}\}_{i=1}^n$ de unidades estadísticas n, un modelo de regresión lineal asume que la relación entre la variable dependiente yi y el p-vector de regresores xi es lineal. Esta relación se modela a través de un término de error o variable de error εi - una variable aleatoria no observada que añade ruido a la relación lineal entre la variable dependiente y regresores.

El MLR se describe de la siguiente maenera:

$$ y_i = \beta_1 x_{i1} + \cdots + \beta_p x_{ip} + \varepsilon_i = \mathbf{x}^{\rm T}_i\boldsymbol\beta + \varepsilon_i, \qquad i = 1, \ldots, n, $$


Donde:

  • $\mathbf{x}^{\rm T}_i$ es la matriz traspuesta

A menudo, estas n ecuaciones se apilan y se escriben en forma vectorial como

$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon, \, $$

$$\mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} \mathbf{x}^{\rm T}_1 \\ \mathbf{x}^{\rm T}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{x}^{\rm T}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1p} \\ x_{21} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{np} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol\beta = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_p \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol\varepsilon = \begin{pmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \vdots \\ \varepsilon_n \end{pmatrix}. $$


Notas
  1. $y_i\,$ es un variable dependient en una regresión
  2. $\mathbf{x}_i\,$ son llamados regresores, variables exógenas, variables explicativas, covariantes, variables de entrada, variables de predicción, o variables independientes (véase variables dependientes e independientes, pero no deben confundirse con las variables aleatorias independientes).
  3. Por lo general, una constante se incluye como uno de los regresores que se llama el intercepto.

Ejemplos de archivos

Referencias

  • Hamilton, J .D.; Time Series Analysis , Princeton University Press (1994), ISBN 0-691-04289-6
  • Kenney, J. F. and Keeping, E. S. (1962) "Linear Regression and Correlation." Ch. 15 in Mathematics of Statistics, Pt. 1, 3rd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 252-285
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