Modelo Exponencial General Autorregresivo Condicional Heterosedástico (EGARCH)

La heterocedasticidad exponencial general autorregresiva condicional (EGARCH) es otra forma del modelo GARCH. El modelo EGARCH fue propuesto por Nelson (1991) para superar la debilidad de GARCH en el manejo de series de tiempo financieras. En particular, para permitir efectos asimétricos entre rendimientos positivos y negativos de los activos.

Formalmente, un EGARCH(p, q): $$x_t = \mu + a_t$$ $$\ln\sigma_t^2 = \alpha_o + \sum_{i=1}^p {\alpha_i \left(\left|\epsilon_{t-i}\right|+\gamma_i\epsilon_{t-i}\right )}+\sum_{j=1}^q{\beta_j \ln\sigma_{t-j}^2}$$ $$a_t = \sigma_t \times \epsilon_t$$ $$\epsilon_t \sim P_{\nu}(0,1)$$ Donde:

• $x_t$ es el valor de las series de tiempo en el tiempo $t$.
• $\mu$ es la media del modelo GARCH.
• $a_t$ es el modelo residual en el tiempo $t$.
• $\sigma_t$ es la desviación estándar condicional (es decir, volatilidad) en el tiempo $t$.
• $p$ es el orden del componente del modelo ARCH.
• $\alpha_o,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ son los parámetros del modelo de componente ARCH.
• $q$ es el orden del modelo de componente GARCH.
• $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ son los parámetros del modelo de componente GARCH.
• $\left[\epsilon_t\right]$ son los residuos estandarizados: $$\left[\epsilon_t \right] \sim i.i.d$$ $$E\left[\epsilon_t\right]=0$$ $$\mathit{VAR}\left[\epsilon_t\right]=1$$
• $P_{\nu}$ es la función de distribución de probabilidad para $\epsilon_t.$ En la actualidad, las siguientes distribuciones son compatibles:
  1. Distribución Normal: $$P_{\nu} = N(0,1)$$
  2. Distribución t de estudiante: $$P_{\nu} = t_{\nu}(0,1)$$ $$nu \gt 4$$
  3. Distribución de Error Generalizado (GED): $$P_{\nu} = \mathit{GED}_{\nu}(0,1)$$ $$\nu \gt 1$$

Observaciones

1. El modelo EGARCH difiere de GARCH de muchas maneras. Por ejemplo, usa las varianzas condicionales registradas para relajar la restricción de positividad de los coeficientes del modelo.
2. EGARCH(p, q) modelo de innovación distribuida normal tiene 2p+q+2 parámetros estimados.
3. EGARCH(p, q) modelo GED o innovación distribuida de t de estudiante tiene 2p+q+3 parámetros estimados.

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Modelo autorregresivo con heterocedasticidad condicional.

Referencias

• James Douglas Hamilton; Análisis de series de tiempo; Princeton University Press; 1st edition (Jan 11, 1994), ISBN: 691042896.
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series; John Wiley & SONS; 2nd edition (Aug 30, 2005), ISBN: 0-471-690740.