Modelo de Heteroscedasticidad Condicional Autoregresivo Generalizado (GARCH)

Si asume un modelo autorregresivo de media móvil (modelo ARMA) para el error de la varianza. El modelo es un modelo generalizado autorregresivo con heteroscedasticidad condicional (GARCH, Bollerslev (1986)).

$$x_t = \mu + a_t$$ $$\sigma_t^2 = \alpha_o + \sum_{i=1}^p {\alpha_i a_{t-i}^2}+\sum_{j=1}^q{\beta_j \sigma_{t-j}^2}$$ $$a_t = \sigma_t \times \epsilon_t$$ $$\epsilon_t \sim P_{\nu}(0,1)$$ Donde:

• $x_t$ es el valor de las series de tiempo en el tiempo $t$.
• $\mu$ es la media del modelo GARCH.
• $a_t$ es residual del modelo en el tiempo $t$.
• $\sigma_t$ es la desviación estándar condicional (es decir, volatilidad) en el tiempo $t$.
• $p$ es el orden del modelo de componente ARCH.
• $\alpha_o,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ son los parámetros del modelo del componente ARCH.
• $q$ es el orden del modelo de componente GARCH.
• $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ son los parámetros del modelo del componente GARCH.
• $\left[\epsilon_t\right]$ son los residuos estandarizados: $$\left[\epsilon_t\right] \sim i.i.d$$ $$E\left[\epsilon_t\right]=0$$ $$\mathit{VAR}\left[\epsilon_t\right]=1$$
• $P_{\nu}$ es la función de distribución de probabilidad para $\epsilon_t$. En la actualidad, son compatibles las siguientes distribuciones:
  1. Distribución Normal: $$P_{\nu} = N(0,1)$$.
  2. Distribución t del Estudiante: $$P_{\nu} = t_{\nu}(0,1)$$ $$\nu \succ 4$$
  3. Distribución de Error Generalizado (GED): $$P_{\nu} = \mathit{GED}_{\nu}(0,1)$$ $$\nu \succ 1$$

Observaciones

• Agrupando: un largo $a_{t-1}^2$ o $\sigma_{t-1}^2$ da lugar a una gran $\sigma_t^2$. Esto significa una gran $a_{t-1}^2$ tendencia a ser seguido por otro gran $a_{t}^2$, generando, un comportamiento muy conocido, del agrupamiento de la volatilidad en series de tiempo financieras.
• Colas Gruesas: La distribución de colas de un proceso GARCH(p, q) es más pesado que una distribución normal.
• Reversión a la media: GARCH proporciona una función paramétrica simple que puede ser usada para describir la evolución de la volatilidad. El modelo converge a la varianza incondicional de $a_t$
• En los mercados financieros, los rendimientos negativos tienen más influencia sobre los niveles de volatilidad que los positivos hacen. El modelo GARCH no tiene un tratamiento diferente basado en términos de choques/errores de la dirección de plazo.
• GARCH(p, q) modelo con distribución normal de innovación tiene parámetros estimados p+q+2.
• GARCH(p, q) modelo con distribución GED o t del Estudiante de innovación tiene parámetros estimados p+q+3.

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Modelo autorregresivo con heterocedasticidad condicional.

Referencias

• James Douglas Hamilton; Análisis de series de tiempo; Princeton University Press; 1st edition (Jan 11, 1994), ISBN: 691042896.
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series; John Wiley & SONS; 2nd edition (Aug 30, 2005), ISBN: 0-471-690740.