Modelo de Heteroscedasticidad Condicional Autoregresivo Generalizado (GARCH)

Si asume un modelo autorregresivo de media móvil (ARMA model) para el error de la varianza. El modelo es un modelo generalizado autorregresivo con heterosedasticidad condicional (GARCH,Bollerslev (1986)).

$$x_t = \mu + a_t$$
$$\sigma_t^2 = \alpha_o + \sum_{i=1}^p {\alpha_i a_{t-i}^2}+\sum_{j=1}^q{\beta_j \sigma_{t-j}^2}$$
$$a_t = \sigma_t \times \epsilon_t$$
$$\epsilon_t \sim P_{\nu}(0,1)$$
Donde:

  • $x_t$ es el valor de las series de timepo en el tiempo t.
  • $\mu$ es la media del modelo GARCH.
  • $a_t$ es residual del modelo en el tiempo t.
  • $\sigma_t$ es la desviación estándar condicional (es decir, la volatilidad) en el tiempo t.
  • $p$ es el orden del modelo de componentes ARCH.
  • $\alpha_o,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ son los parámetros de la el modelo de componente ARCH.
  • $q$ es el orden del modelo de componente GARCH.
  • $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ son los parámetros del modelo de componente GARCH.
  • $\left[\epsilon_t\right]$ son los residuos estandarizados:
    $$\left[\epsilon_t\right] \sim i.i.d$$
    $$E\left[\epsilon_t\right]=0$$
    $$\mathit{VAR}\left[\epsilon_t\right]=1$$
  • $P_{\nu}$ es la función de distribución de probabilidad para $\epsilon_t$. En la actualidad, son compatibles las siguientes distribuciones:

    1. Distribución Normal

      $$P_{\nu} = N(0,1) $$.
    2. Distribución t de Student
      $$P_{\nu} = t_{\nu}(0,1) $$
      $$\nu \succ 4 $$
    3. Distribución de error generalizado (GED)
      $$P_{\nu} = \mathit{GED}_{\nu}(0,1) $$ 
      $$\nu \succ 1 $$

 

Notas

  • Agrupando: un largo $a_{t-1}^2$ or $\sigma_{t-1}^2$ da lugar a una gran $\sigma_t^2$. Esto significa una gran $a_{t-1}^2$ tendencia a ser seguio por otro gran $a_{t}^2$, generando, un comportamiento muy conocido, del agrupamiento de la volatilidad en series de tiempo financieras.
  • Colas Gruesas: La distribución de colas de un proceso GARCH(p,q) es más pesado que una distribución normal.
  • Reversión a la media: GARCH proporciona una función paramétrica simple que puede ser usada para describir la evolución de la volatilidad. El modelo converge a la varianza incondicional de $a_t$
  • En los mercados financieros, los rendimientos negativos tienen más influencia sobre los niveles de volatilidad que los positivos hacen. El modelo GARCH no tiene un tratamiento diferente basado en terminos de choques/errores de la dirección de plazo.
  • GARCH(p,q) modelo con distribución normal de innovation tiene parámetros estimados p+q+2
  • GARCH(p,q) modelo con distribución GED o t de Student de innovation tiene parámetros estimados p+q+3

Referencias

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