Modelo GARCH-en-Media (GARCH-M)

En las finanzas, el retorno de un valor puede depender de su volatilidad (riesgo). Para modelar este tipo de fenómenos, el modelo (GARCH-M) GARCH-en-media añade un término de heterocedasticidad en la ecuación de la media. El modelo GARCH-M (p, q) es:$$x_t = \mu + \lambda \sigma_t + a_t$$ $$\sigma_t^2 = \alpha_o + \sum_{i=1}^p {\alpha_i a_{t-i}^2}+\sum_{j=1}^q{\beta_j \sigma_{t-j}^2}$$ $$ a_t = \sigma_t \times \epsilon_t$$ $$ \epsilon_t \sim P_{\nu}(0,1)$$

Donde:

  • $x_t$ es el valor de las series de tiempo en el tiempo $t$.
  • $\mu$ es la media del modelo GARCH.
  • $\lambda$ es el coeficiente de volatilidad para la media.
  • $a_t$ es residual del modelo en el tiempo $t$.
  • $\sigma_t$ es la desviación estándar condicional (es decir, la volatilidad) en el tiempo $t$.
  • $p$ es el orden del modelo de componente ARCH.
  • $\alpha_o,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ son los parámetros del modelo de componentes ARCH.
  • $q$ es el fin del modelo de componentes GARCH.
  • $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ son los parámetros del modelo de componentes GARCH.
  • $\left[\epsilon_t\right]$ son los residuos estandarizados:$$\left[\epsilon_t \right]\sim i.i.d$$ $$E\left[\epsilon_t\right]=0$$ $$\mathit{VAR}\left[\epsilon_t\right]=1$$
  • $P_{\nu}$ es la función de distribución de probabilidad para $\epsilon_t$. En la actualidad, son compatibles las siguientes distribuciones:
    1. Distribución Normal:$$P_{\nu} = N(0,1)$$
    2. Distribución t de estudiante:$$P_{\nu} = t_{\nu}(0,1)$$ $$\nu \gt 4$$
    3. Distribución de Error Generalizado (GED):$$P_{\nu} = \mathit{GED}_{\nu}(0,1)$$ $$\nu \gt 1$$

Observaciones

  • GARCH-M (p, q) modelo con innovación de distribución normal tiene p+q+3 parámetros estimados.
  • GARCH-M (p, q) modelo con innovation with GED or student's t-distributed innovation has p+q+4 estimated parameters.
  • Una prima de riesgo positivo (λ) indica que las series de datos se relaciona positivamente con su volatilidad.
  • Además, el modelo GARCH-M implica que hay correlaciones de serie en la serie de datos por sí misma los cuales fueron introducidos por los de la volatilidad $\sigma_t^2$ proceso.
  • La mera existencia de la prima de riesgo es, por lo tanto, otra razón por la que algunas acciones históricas de los rendimientos históricos muestran correlaciones de series.

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Referencias

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