Promedio Movil Autorregresivo Integrado Integrado Estacional (SARIMA)

El modelo SARIMA es una extensión del modelo ARIMA, que se utiliza frecuentemente cuando sospechamos que un modelo puede tener un efecto estacional.

Por definición, el proceso autorregresivo estacional integrados de media móvil – SARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s - es un proceso multiplicativo de dos procesos ARMA de la serie de tiempo diferenciada.$$(1-\sum_{i=1}^p {\phi_i L^i})(1-\sum_{j=1}^P {\Phi_j L^{j \times s}})(1-L)^d (1-L^s)^D x_t = (1+\sum_{i=1}^q {\theta_i L^i})(1+\sum_{j=1}^Q {\Theta_j L^{j \times s}}) a_t$$ $$y_t = (1-L)^d (1-L^s)^D $$

Donde:

• $x_t$ es la salida original no estacional en el tiempo $t$.
• $y_y$ es la salida diferenciada (estacional)en el tiempo $t$.
• $d$ es el orden de integración no estacional de las series temporales.
• $p$ es el orden del componente AR no estacional.
• $P$ es el orden del componente AR no estacional.
• $q$ es el orden del componente MA no estacional.
• $Q$ es el orden del componente MA estacional.
• $s$ es la duración de la estacionalidad.
• $D$ es el orden de integración de las series de tiempo estacionales.
• $a_t$ es la innovación, choque o término de error en el tiempo $t$.
• $\{a_t\}$ las series de tiempo son independientes e idénticamente distribuidas (es decir, $i.i.d$) y siguen una distribución de Gauss. (es decir, $\Phi(0,\sigma^2)$).

Asumiendo $y_t$ sigue un proceso estacional con una media a largo plazo de $\mu$, entonces teniendo la expectativa de ambos lados, podemos expresarlo $\phi_o$ de la siguiente manera:$$\phi_o = (1-\phi_1-\phi_2-\cdots-\phi_p)(1-\Phi_1-\Phi_2-\cdots-\Phi_P)$$

Entonces, el proceso SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)s pueden ahora ser expresado como:$$(1-\sum_{i=1}^p {\phi_i L^i})(1-\sum_{j=1}^P {\Phi_j L^{j \times s}}) (y_t -\mu) = (1+\sum_{i=1}^q {\theta_i L^i})(1+\sum_{j=1}^Q {\Theta_j L^{j \times s}}) a_t$$ $$z_t=y_t-\mu$$ $$(1-\sum_{i=1}^p {\phi_i L^i})(1-\sum_{j=1}^P {\Phi_j L^{j \times s}}) z_t = (1+\sum_{i=1}^q {\theta_i L^i})(1+\sum_{j=1}^Q {\Theta_j L^{j \times s}}) a_t$$

En Resumen, $z_t$ es la señal diferenciada después que restamos su promedio a largo plazo.

Observaciones

1. La varianza de los choques es constante o invariante en el tiempo.
2. El orden del componente AR estacional o no estacional (o MA) está determinado únicamente por el orden de la última variable rezagada con un coeficiente distinto a cero. En principio, Usted puede tener menos parámetros que el orden del componente.
   Considere el siguiente proceso SARIMA(0,1,1)(0,1,1)12:$$(1-L)(1-L^{12})x_t-\mu = (1+\theta L)(1+\Theta L^{12})a_t$$

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Función de verosimilitud.
• Wikipedia - Likelihood principle.
• Wikipedia - Modelo Autorregresivo de media móvil.

Referencias

• James Douglas Hamilton; Análisis de series de tiempo; Princeton University Press; 1st edition (Jan 11, 1994), ISBN: 691042896.
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series; John Wiley & SONS; 2nd edition (Aug 30, 2005), ISBN: 0-471-690740.