Modelo de Media Móvil Integrada Autoregresiva (ARIMA)

El modelo ARIMA es una extensión del modelo ARMA que se aplica a series de tiempo no-estacionales (la clase de series de tiempo con una o más raíces unintarias integradas. Por definición, el proceso promedio móvil autorregresivo integrado (ARIMA) es un proceso ARMA para las series de timepo diferenciadas: $$(1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 -\cdots - \phi_p L^p)(1-L)^d x_t - \phi_o= (1+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t$$ $$y_t = (1-L)^d x_t$$ Donde:

  • $x_t$ es la salida original no estacional en el momento $t$.
  • $y_t$ es la salida diferenciada (estacional) observada en el momento $t$.
  • $d$ es el orden de integración de las series de tiempo.
  • $a_t$ es el cambio o innovación, choque o término de error en el tiempo $t$.
  • $p$ es el orden de la última variable rezagada (lagged).
  • $q$ es el orden del último cambio de rezago o choque.
  • $a_t$ las observaciones de las series de tiempo son independientes e idénticamente distribuidas (es decir, $i.i.d$) y siguen una distribución Gaussiana (es decir, $\Phi(0,\sigma^2)$).

Observaciones

  1. La varianza de los choques es constante o invariante en el tiempo.
  2. Asumiendo $y_t$ (es decir, $(1-L)^d x_t$) es un proceso estacionario con una media a largo plazo $\mu$, entonces teniendo la expectativa de ambos lados podemos expresar $\phi_o$ de la siguiente manera:$$\phi_o = (1-\phi_1-\phi_2-\cdots -\phi_p)\mu$$
  3. Así, el proceso ARIMA (p, d, q) puede ser expresado como:$$\eqalign{ & (1 - {\phi _1}L - {\phi _2}{L^2} - \cdots - {\phi _p}{L^p})({y_t} - \mu ) \cr & = (1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} + \cdots + {\theta _q}{L^q}){a_t}{z_t} \cr & = {y_t} - \mu (1 - {\phi _1}L - {\phi _2}{L^2} - \cdots - {\phi _p}{L^p}){z_t} \cr & = (1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} + \cdots + {\theta _q}{L^q}){a_t} \cr}$$
  4. En resumen, $z_t$ es la señal diferenciada después de restar su promedio a largo plazo.
  5. El orden del proceso ARIMA es solamente determinado por el orden de la última variable rezagada con un coeficiente no-cero. En principio, puede tener menor número de parámetros que el orden del modelo. Considere el siguiente proceso ARIMA (12, 2):$$(1-\phi_1 L -\phi_{12} L^{12} ) (y_t-\mu) = (1+\theta_2 L^2 ) a_t$$

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Referencias

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